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¬ Lição matemática nº7: Convenção e conversão de taxas

Algumas das taxas de juro utilizadas no mercado são definidas como ‘taxa de juro nominal’, como no caso do juro da poupança. Mas o que significa isso? Uma taxa nominal não é a que ganhamos, ou pagamos, efetivamente no fim do período, de um ano, por exemplo. Neste caso precisamos calcular, a partir da taxa nominal, a taxa efetiva embutida na operação. Ou seja, são muitas as convenções adotadas no mercado no que se refere a taxa de juros, e precisamos entender cada uma delas, do contrário não saberemos quanto pagamos por um empréstimo ou quanto recebemos por uma aplicação, além de nos impedir de converter essa taxa para períodos distintos.

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Chama-se de taxa efetiva a taxa de juros que se obtém no processo de formação dos juros em regime composto, isto é, ao longo dos períodos de capitalização (geralmente ao longo dos meses). Quando é chamada de taxa nominal estamos tratando de uma definição matemática que considera que o intervalo de capitalização desse juro não é o mesmo daquele definido para a própria taxa. Por exemplo, suponhamos uma taxa nominal de juros de 12% ao ano. Caso não se diga mais nada esta taxa é considerada efetiva, ou seja, a taxa de juros é de 12% ao ano, capitalizada anualmente.

Mas, caso a taxa de juros venha acrescida de um período de capitalização diferente, como ‘12% ao ano, capitalizada mensalmente’, vemos que os prazos não coincidem. Ou seja, o juro de 12% ao ano será capitalizado, incorporado ao principal, no fim de cada mês. Por isso a taxa é chamada de nominal. Neste caso, o prazo de capitalização (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) é de um mês, e o prazo a que se refere a taxa de juros igual é de 1 ano (12 meses). O exemplo mais prático é o caso da poupança, definida em 6% de juro nominal ao ano. Todavia, como somos remunerados mensalmente na caderneta temos que dividir os 6% por 12 meses, o que nos dá 0,5% ao mês. Como temos juros sobre juros, isto é, todo mês a poupança rende 0,5% sobre o que já havia rendido no mês anterior, a taxa efetiva, no fim de 1 ano, acaba sendo de 6,168%; portanto, superior àqueles 6% da taxa nominal divulgada. Logo, temos as seguintes definições a partir deste exemplo da poupança:

* taxa nominal da operação para o período = 6% ao ano

* taxa proporcional simples (taxa definida para o período de capitalização) = 0,5% ao mês (6%/12 meses)

* taxa efetiva de juros anual (em juro composto) = 6,168% ao ano

CONVERSÃO DE TAXAS: TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES

Surge um problema ao se converter taxas para períodos distintos. Taxas proporcionais são calculadas em juro simples, precisando neste caso apenas de uma regra de três. Porém, quando falamos em conversão de taxas, geralmente estamos tratando de taxas equivalentes, isto é, em juro composto. Logo,

TAXAS PROPORCIONAIS

Qual a taxa mensal proporcional (juros simples) a uma taxa de 6% ao trimestre?

Por regra de três achamos a taxa mensal

6% ____ 3 meses (= 1 trimestre)

x ? ____ 1 mês

x = 2% ao mês

TAXAS EQUIVALENTES

Com o nosso interesse maior aqui é o juro composto, temos a seguinte fórmula para conversão de taxas equivalentes (a juros compostos):

onde,

i_n = taxa que procuramos

i_x = taxa dada

n = dias (ou meses) contidos na taxa procurada

x = dias (ou meses) contidos na taxa dada

Exemplos

1) Qual a taxa mensal proporcional (juros simples) a uma taxa de 6% ao trimestre?

i_n = mensal (1 mês ou 30 dias)

i = trimestre (3 meses ou 90 dias)

n = 1 meses (ou 30 dias)

x = 1 trimestre (ou 90 dias)

Podemos resolver essa conversão trabalhando com dias ou meses, desde que mantenhamos a compatibilidade ao lançarmos isso na fórmula (mês com mês ou dias com dias).

i_{30 (dias)}= [(1 + 0,06)^{30/90 (dias)} –1] x 100

i₃₀ = [(1,06) ^0,3333 –1] x 100

i₃₀ = 1,961%

Ou

i_1(mês)= [(1 + 0,35)^{1/3 (meses)} –1] x 100

i₁ = [(1,06) ^0,3333 –1] x 100

i₁ = 1,961%

(f) (REG) 1,06 (ENTER) 30 (ENTER) 90 (÷) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

i = 1,961%

(f) (REG) 1,06 (ENTER) 1 (ENTER) 3 (÷) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

i = 1,961%

2) Qual a taxa bimestral equivalente à taxa semestral de 35%?

i_n = bimestral

i = semestral

n = 60

x = 180

i₆₀= [(1 + 0,35)^60/180 –1] x 100

i₆₀ = [(1,35) ^0,3333 –1] x 100

i₆₀ = 10,52%

(f) (REG) 1,35 (ENTER) 60 (ENTER) 180 (÷) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

i = 10,52%

3) Qual a taxa semestral equivalente à taxa trimestral de 5%?

i₁₈₀= [(1 + 0,05)^180/90 –1] x 100

i₁₈₀ = [(1,05) ² –1] x 100

i₁₈₀ = 10,25%

(f) (REG) 1,05 (ENTER) 180 (ENTER) 90 (÷) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

i = 10,25%

4) Qual a taxa diária equivalente à taxa trimestral de 90%?

i₁= [(1 + 0,90)^1/90 –1] x 100

i₁₈₀ = [(1,90) ^0,0111 –1] x 100

i₁₈₀ = 0,7157%

(f) (REG) 1,90 (ENTER) 1 (ENTER) 90 (÷) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

i = 0,7157%

TAXA NOMINAL (APARENTE) E TAXA REAL

Inflação acumulada

Já vimos em outra lição como considerar o efeito da taxa de inflação ao longo do tempo. Inflação acumulada, que não pode se resumir à soma das inflações. Aprofundemos um pouco esse estudo.

A inflação se processa de maneira exponencial, sendo acrescida sobre a inflação do período anterior, ou seja, o aumento de preço ocorre sobre um valor que já incorpora acréscimos apurados anteriormente. Como nos juros compostos, temos inflação sobre inflação.

Suponhamos que um bem no valor de $ 1.000,00 seja reajustado mensalmente pela inflação, sendo ela de 2,8%, 1,4% e 3,0%, em períodos consecutivos.

1º mês: $ 1.000,00 x (1.028)¹ = $ 1.028,00

2º mês: $ 1.028,00 x (1,014)¹ = $ 1.042,39

3º mês: $ 1.042,39 x (1,03)¹ = $ 1.073,66

O incremento do valor do ativo no trimestre é de 7,366% ($ 1.073,66,/ $ 1.000,00), o que equivale ao produto (capitalização composta) das taxas mensais de inflação, isto é:

Inflação do Trimestre = [[(1,028) x (1,014) x (1,03)] –1] x 100 = 7,366%

.

* as taxas, quando multiplicadas, dever ser somadas a 1 (link para cálculo da inflação acumulada, por diversos índices, a partir de 2000: http://fundos.economia.uol.com.br/uol/calculadora-indices-inflacao/)

A taxa equivalente mensal de inflação do período, identicamente ao regime de juros compostos, é:

Taxa Equivalente Mensal = [(1 + 0,0737)^1/3 – 1] x 100 = 2,398% ao mês

* observem que essa taxa equivalente mensal de 2,398% é como uma média das inflações dos 3 meses (2,8%, 1,4% e 3%), pois os resultados são praticamente idênticos, já que (2,8 + 1,4 + 3)/3 = 2,4%. Por isso chamamos a taxa equivalente de taxa média.

Se o trimestre apresentasse uma deflação no terceiro mês teríamos: 2,8%, 1,4% e - 3% (deflação). A taxa de inflação acumulada do período seria:

Inflação do Trimestre = [[(1 + 0,028) x (1 + 0,014) x (1 – 0,03)] –1] x 100 = 1,11%

Exemplos

1) A taxa mensal de inflação de um quadrimestre (4 meses) atinge, respectivamente: 2,8%, 3,4%, 5,7% e 8,8%. Determinar a taxa de inflação acumulada do período e a taxa média mensal.

(f) (REG) 1,028 (ENTER) 1,034 (x) 1,057 (x) 1,088 (x)

I = 22,2% ao quadrimestre

(f) (REG) 1,222 (ENTER) 4 (1/x) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

I= 5,15% ao mês

2) A taxa de inflação da economia de determinado ano foi de 748.95%. Calcular a taxa equivalente semestral inflação do período.

(f) (REG) 1 (ENTER) 7,4895 (+) 2 (1/x) (Y^x) 1 (-) 100 (x)

I = 191,4% ao semestre

3) Sendo projetada em 1,9% ao mês a taxa de inflação para os próximos 5 meses, determinar a inflação acumulada deste período.

(f) (REG) l,0l9 (ENTER) 5 (Y^x) 1 (-) 100 (x)

I = 9,87% p/ 5 meses

4) Determinado trimestre apresenta as seguintes taxas mensais de variações nos preços gerais da economia: 7,2%, 2,9% e - 1,2% (deflação). Determinar a taxa de inflação acumulada do trimestre.

Como temos uma taxa negativa lembremos que:

[(1 + 0,072) x (1 + 0,029) x (1- 0,012)] - 1 = 8,99% a.t.

(f) (REG) 1,072 (ENTER) 1,029 (x) 0,988 (x) 1 (-) 100 (x)

I = 8,99% a.t.

Taxa aparente e taxa real

Já vimos acima que a taxa de juros nominal (linear) indica a descapitalização do juro de forma proporcional (juros simples). No caso da poupança a taxa nominal é de 6%. Todavia o conceito de taxa de juro nominal também pode ter outro significado, neste caso quando a comparamos com a inflação, podendo ser chamada de nominal ou aparente. Lá mostramos a diferença entre taxa nominal e taxa efetiva, pois interessava o regime de capitalização dessa taxa nominal para descobrirmos a efetiva. Como aqui o que importa é o efeito da inflação, separamos a taxa nominal (ou aparente) da inflação e encontramos a taxa real.

O termo real para as operações de Matemática Financeira denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários. Ou seja, quanto se ganhou (ou perdeu) verdadeiramente, sem a interferência das variações verificadas nos preços. O objetivo do cálculo da taxa real (r) é o de expurgar a indexação da taxa total de juros (nominal), de maneira a expressar o juro real.

A fórmula de apuração da taxa real é a seguinte:

Logo,

onde:

i = rentabilidade nominal (ou aparente)

I = inflação

r = rentabilidade real

Substituindo-se os valores da inflação e ganho nominal (taxa nominal) do exemplo acima tem-se:

r = [(1 + 0,10) / (1 + 0,20)] - 1 = 1,10 -1 = - 8,33% ($1.000/$12.000)

* A taxa real também pode ser negativa, desde que a inflação supere a variação nominal dos juros.

Comprovação da fórmula:

A inflação tende a corroer o poder de compra da moeda. Suponhamos que uma pessoa tenha adquirido um imóvel por $ 10.000,00 em certa data, e vendido, um ano depois, por $11.000,00. Consideremos ainda uma inflação de 20% no período. É comum diminuir o preço de venda do preço de compra para se determinar o ganho, que neste caso é apenas nominal (ou aparente). Para saber o ganho real, temos que retirar o efeito da inflação no período.

No exemplo, tem-se um lucro nominal (aparente) de $1.000. Observe que para não ocorrer prejuízo, o imóvel deveria ser vendido por um preço 20% maior que o seu valor de compra há um ano, ou seja, por $12.000 (10.000 + 20% de inflação). Somente a partir desse valor é que efetivamente existiria um lucro real. Portanto, a venda por $11.000 mostra um prejuízo real de $1.000,00, pois caso retiremos o preço de venda (11.000) do preço corrigido ($12.000), percebemos o rendimento perdeu para a inflação.

Em termos de rentabilidade notamos que o ganho nominal, como já visto, seria:

Ganho Nominal = $1.000,00/$10.000 x 100 = 10%

Quando consideramos a inflação temos a seguinte rentabilidade (real):

Preço de venda na data da venda/preço de compra corrigido para a data da venda

= $11.000 / $10.000 x 1,20 = 0,9166 - 1 x 100 = - 8,33%

Em outras palavras, vendendo a $11.000,00 o aplicador recuperou somente 91,66% ($11.000,00/$12.000,00) do valor de seu investimento inicial quando consideramos o efeito da inflação. Logo, perdeu 8,33% de sua capacidade de compra (91,66% -1).

Outros exercícios sobre conversão de taxas

1) Um investidor aplicou $100.000,00 num título por 3 meses à taxa nominal de 6,5% a.t (ao trimestre). Sendo de 4,0% a inflação nesse período, calcular os rendimentos nominal e real auferidos pelo aplicador.

106.500 = 100.000 (1 + i)¹

i = 6,5% no trimestre

i (mensal) = [(1 + 0,065)^1/3 – 1] x 100 = 2,12% am (rentabilidade nominal por mês)

Perda pela Inflação do trimestre:

$ 100.000,00 x 4% = $ 4.000,00

Ganho Nominal = $ 6.500,00

Ganho Real = $ 2.500,00

r (trimestral) = $ 2.500,00/$ 100.000,00 x 1,04 = 2,4% a.t (rentabilidade real no trimestre)

r (mensal) = [(1 + 0,024)^1/3 – 1] x 100 = 0,79% am (rentabilidade real por mês)

A taxa real pode ser obtida pelo emprego direto da fórmula:

r = [(1 + i)/(1 + I)] – 1 = [(1 + 0,065)/ (1 + 0,04)] – 1 = 2,4% at

2) Suponha que uma pessoa adquira, no início de determinado ano, um imóvel por $60.000,00, vendendo-o dois anos após por $85.320,00. Sendo de 31,1% a inflação no período determine a rentabilidade nominal e real anual desta negociação.

a) i (2 anos) = 85.320 = 60.000 (1 + i)¹

i = 42,2% em dois anos

i (anual) = [(1 + 0,422)^1/2 – 1] x 100 = 19,25%

b) r (2 anos) = [(1 + 0,42)/(1 + 0,31)] – 1 = 8,40% em dois anos

r (anual) = [(1 + 0,0847)^1/2 – 1] x 100 = 4,15%

3) Determinar a variação real do poder aquisitivo de um assalariado que obtém em determinado semestre um reajuste salarial de 12%, admitindo que a inflação do período tenha atingido a: a) 8%; b) 12%; c) 20%.

a) r = (1,12/1,08) – 1 = 3,7%

b) r = (1,12/1,12) –1 = 0%

c) r = (1,12/1,20) –1 = - 6,67%

4) Sabe-se que o preço a vista de um imóvel é de $ 78.000,00. Na hipótese de serem oferecidos uma entrada de 40% e o saldo restante, corrigido pela inflação, pago após um semestre, determinar o valor deste pagamento, sabendo-se que a taxa de inflação projetada para um ano atinge 21%.

Valor a Financiar = $ 78.000,00 - 40% = $ 46.800,00

Taxa semestral de inflação = ((1,21)^1/2 -1) x 100 = 10%.

Valor corrigido do pagamento

$ 46.800,00 x (1,1) = $ 51.480,00

5) A taxa nominal de juros contratada em um empréstimo é de 20% ao ano. Tendo ocorrido uma variação de 7% nos índices de preços neste mesmo período, determinar a taxa real anual de juros do empréstimo.

r = (1,2)/1,07) – 1 x 100 = 12,1495%

6) Uma aplicação de $ 38.600,00, pelo prazo de 7 meses, gera um resgate de $ 48.400,00. Sendo os juros reais de 1,5% a.m., calcular a taxa de inflação e a taxa nominal de juros desta operação.

FV = $ 48.400,00,

PV = $ 38.600,00

r = 1,5% a.m.

Correção monetária (I) = ?

i = ?

i (7 meses) =(48.400,00/38.600) - 1 = 25,39% ou 48.400 = 38.600 (1+i)¹

i mensal = [(1 + 0,2539)^1/7] - 1 = 3,29% am

I = [(1 + i)/(1 + r)] – 1 = (1,0329/1,015) - 1 = 1,76% am

7) Um banco negociou uma operação de capital de giro no valor de $ 1.000 pelo prazo de 60 dias. Sabendo-se que o juro foi de 80% ao ano, e que a empresa pagou uma comissão de 2% sobre o total na abertura do crédito. Qual a taxa interna de retorno (juro efetivo) da operação e a taxa real se a inflação foi de 4% no primeiro mês e de 5% no segundo mês?

PV = 1.000

i = 4% e 5%

Comissão (cc) = 2% Valor liberado = $980

i = 80% aa = 10,29% para 60 dias

IRR ?

ir ?

1102,9 = 980 (1 +i )

i = 1102,9/980 – 1

i = 12,54% para 60 dias

ir = (1+i)/[1 + I(1 + i)] - 1 = 1,125/1,092

ir = 3,058% para o período

8) Calcular o custo efetivo anual em moeda nacional de um empréstimo em moeda estrangeira contratado a juros nominais de 8%aa, com capitalização mensal, considerando uma desvalorização da moeda nacional de 2% am.

i efetiva mensal = 0,08/12 = 0,00667

i anual = (1,0067)¹² x (1,02)¹² = 1,08343 x 1,268 = 1,3737

i = 37,37% aa

9) Calcular o valor de resgate de uma operação pós-fixada com 3 meses de prazo, sabendo-se que o valor aplicado é de $ 1.000, a taxa de juro é de 2% ao mês e o índice de correção é de 15% no primeiro mês, 17% no segundo mês e 19% no terceiro.

FV = 1000 x (1,15) x (1,17) x (1,19) x (1,02)³

FV = $1.699,15

¬ Lição matemática nº6: juro simples x juro composto

Apesar de não ser comumente utilizado nas operações habituais os juros simples servem como referência e facilitam o entendimento dos juros compostos.

DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTO

O regime de capitalização dos juros pode ser feito em juros simples (crescimento linear dos juros ao longo do tempo), sendo que a taxa não incide sobre o saldo acumulado anterior, apenas sobre o principal. Em suma, os juros tendem a ser constantes; ou em juros compostos (crescimento exponencial dos juros no tempo), ou seja, os juros incidem sobre o saldo acumulado no período anterior.

Exemplo: Considere um investimento de $1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 10% ao ano.

	Capitalização simples		Capitalização composta		Diferença
	Saldo devedor	Juros anuais	Saldo devedor	Juros anuais	Juros anuais	Saldo devedor
Início 1º ano	1.000,00	-	1.000,00	-	-	-
Fim do 1º ano	1.100,00	100,00	1.100,00	100,00	0,00	0,00
Fim do 2º ano	1.200,00	100,00	1.210,00	110,00	10,00	10,00
Fim do 3º ano	1.300,00	100,00	1.331,00	121,00	21,00	31,00
Fim do 4º ano	1.400,00	100,00	1.464,10	133,10	33,10	63,10
Fim do 5º ano	1.500,00	100,00	1.610,51	146,41	46,41	110,51
Fim do 6º ano	1.600,00	100,00	1.771,56	161,05	61,05	171,56

Percebemos que pelo fato de os juros simples incidirem sempre sobre o principal de $1.000 ele nunca é cumulativo. No caso dos juros compostos, a partir do segundo mês os juros de 10% incidem sobre o total do saldo devedor. Quanto maior o período da operação mais o juro composto se distancia do juro simples em termos monetários. Isso pode ser percebido pelas duas últimas colunas, que mostram a diferença entre os dois regimes de capitalização.

FÓRMULAS BÁSICAS:

juro simples

Como FV = PV + J

FV = PV + PV x i x n,

Logo:

FV = PV (1+i x n)

PV = FV/ (1 + i x n)

J = FV - PV

Onde:

PV = valor presente (present value), capital, principal, valor investido, etc.

FV = valor futuro (future value), montante, valor acumulado, etc.

i = taxa da operação

n = prazo da operação

(1 + i x n) = fator de capitalização

J = juros

* a notação aqui utilizada corresponde a da HP12c

Sua lógica, portanto, é a seguinte:

Tempo 0: FV = PV

Tempo 1: FV = PV + PV x i

Tempo 2: FV = PV + PV x i + PV x i = PV + PV x i x 2

Logo: FV = PV (1 + i x n)

EXEMPLOS:

1) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% am durante um trimestre. Determinar o valor dos juros acumulados neste período.

Capital (PV) = $80.000

i = 2,5% ao mês

J = ?

n = 1 trimestre (3 meses)

* a taxa deve sempre ser dividida por 100 antes de ser lançada na fórmula

* a taxa e o tempo da operação devem estar na mesma base, por exemplo, em meses

FV = 80.000 (1 + i x n)

FV = 80.000 (1 + 0,025 x 3)

FV = 86.000

Como J = FV – PV

J = 86.000 – 80.000

J = $6.000

2) Um capital de $40.000 foi aplicado na poupança por 11 meses, produzindo um rendimento de $9.680,00. Qual a taxa de juros dessa operação?

n = 11 meses

J = 9.680

PV = 40.000

i = ?

J = FV – PV

9.680 = FV – 40.000

FV = 49.680

FV = PV (1 + i x n)

49.680 = 40.000 (1 + i x 11)

49.680 = 40.000 + 440.000i

440.000i = 9.680

i = 0,022

* como a taxa precisa vir sempre com o símbolo de %, temos que multiplicar o resultado por 100.

i = 2,2% am ( 2,2/100)

3) Uma dívida de $900.000,00 vencerá em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7%am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

FV = 900.000

i = 7% ao mês

PV = ?

n = 4 meses

FV = PV (1 + i x n)

900.000 = PV (1 + 0,07 x 4)

PV = $ 703.125,00

4) Suponha uma dívida de $15.000,00. O credor está oferecendo um desconto de 7% am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Caso o devedor resolvesse antecipar a liquidação do seu débito pagaria $ 11.443,00. Em quanto tempo venceria esta dívida?

FV = 15.000

i = 7% ao mês

PV = $ 11.443

n = ?

15.000 = 11.443 (1+0,07 x n)

(1+0,07n) = 15.000/11.443

n = (1,3108 –1)/0,07

n = 4,44 meses, ou, arredondando, n = 4 meses

Observações:

* quando tratamos de matemática financeira não há problema em aplicarmos por datas quebradas, ou seja, podemos fazer uma aplicação por 2,5 meses, que significam 2 meses e meio, que corresponde a 2 meses mais 15 dias (75 dias). Podemos também arredondar o valor se não precisamos de dados muitos precisos.

* as taxas precisam ser consideradas com no mínimo duas casas decimais, pois isto tem um impacto considerável com relação a grandes somas de dinheiro.

* os valores monetários (em reais) não precisam vir com os centavos e podem ser arredondados. O importante é o raciocínio, pois uns centavos ou reais a mais ou a menos não prejudicam o nosso estudo.

JURO COMPOSTO

Para que a distinção entre juro simples e juro composto fique mais clara utilizaremos os mesmos exercícios.

Fórmulas:

FV = PV (1 + i)ⁿ

PV = FV/(1 + i)ⁿ

Onde:

(1 + i)ⁿ - fator de capitalização

1/(1 + i)ⁿ - fator de descapitalização (ou atualização)

A lógica do juro composto, portanto, é a seguinte:

Tempo0: FV₀ = PV

Tempo1:   FV₁ = PV + PV x i = PV (1 + i)

Tempo2:   FV₂ = [PV x (1 + i)] + [PV x (1 + i)] x i = PV x (1 + i) x (1 + i) = PV x (1 + i)²

Logo:      FV_n = PV (1+ i)ⁿ

EXEMPLOS:

1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% am durante um trimestre. Determinar o valor dos juros acumulados neste período.

Capital (PV) = $80.000

i = 2,5% ao mês

J = ?

n = 1 trimestre (3 meses)

FV = 80.000 (1 + i)ⁿ

FV = 80.000 (1 + 0,025)³

FV = 86.151,00

Como J = FV – PV

J = 86.151,00 – 80.000

J = $6.151

Pela HP12C

(f) (REG) 80000 (CHS) (PV) 2,5 (i) 3 (n) (FV)? = 86.151,00

* Como a HP12c trabalha com fluxos de caixa (entradas e saídas), precisamos lançar um dos valores negativo, no caso 80.000 e a tecla (CHS), o que transforma a entrada em um valor negativo. Neste caso o FV sairá positivo. Se não colocassemos os 80.000 negativo o FV é quem sairia como uma saída de caixa [(f) (REG) 80000 (PV) 2,5 (i) 3 (n) (FV)? = - 86.151,00].

2) Um capital de $40.000 foi aplicado na poupança por 11 meses, produzindo um rendimento de $9.680,00. Qual a taxa de juros dessa operação?

n = 11 meses

J = 9.680

PV = 40.000

i = ?

J = FV - PV

9.680 = FV - 40.000

FV = 49.680

FV = PV (1 + i)ⁿ

49.680 = 40.000 (1 + i )¹¹

(1 + i )¹¹ = 1,242

Matematicamente, só temos uma solução neste ponto, que é aplicar a raiz 11 dos dois lados da equação. Logo,

1+i = 1,242 ^1/11

i = 1,01989 - 1

i = 0,01989

como a taxa vem sempre com o símbolo de %, temos que multiplicar o resultado por 100.

i = 1,989%

HP12C

(f) (REG) 9680 (ENTER) 40000 (+) (CHS) (FV) 40000 (PV) 11 (n) (i)?

i = 1,989%

* a calculadora financeira já apresenta a taxa em termos percentuais, isto é, não precisamos multiplicar por 100.

3) Uma dívida de $15.000,00 vencerá em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

FV = 15.000

i = 7% ao mês

PV = ?

n = 4 meses

FV = PV(1 + i)ⁿ

15.000 = PV(1 + 0,07)⁴

PV = $ 11.443,00

HP12C

(f) (REG) 15000 (CHS) (FV) 7 (i) 4 (n) (PV)?

PV = $ 11.443,00

FV = 15.000

i = 7% ao mês

PV = $ 11.443

n = ?

15.000 = 11.443 (1+0,07)ⁿ

(1+0,07)ⁿ = 15.000/11.443

(1+0,07)ⁿ = 1,3108

* matematicamente, sem a utilização de uma calculadora financeira, só temos uma solução para este problema. Passamos logaritmo dos dois lados da equação:

log (1,07)ⁿ = log 1,3108

Pela regra do logaritmo, descendo o expoente n,

n (log 1,07) = log 1,3108

n = log 1,3108/log 1,07

n = 0,11753/0,02938

n = 4 meses

HP12C

(f) (REG) 114443 (CHS) (PV) 15000 (FV) 7 (i) (n)?

n = 4 meses

5) Uma pessoa toma um empréstimo de $1.000 a ser pago em 1 mês, com uma taxa de juros de 3%. Pagou uma taxa de abertura de crédito (TAC) de $10,00. Qual a taxa efetiva do empréstimo? (as TAC's foram proibidas pelo governo mas o raciocínio serve para qualquer outro custo ou taxa adicional que incida sobre o empréstimo)

PV = $1.000

Valor efetivamente recebido (PV real) = $1.000 - 10 = $990

i = 3%.

FV (valor a ser pago) = $1.000 x 3% = $1.030.

FV = PV (1 + i )ⁿ

1.030 = 990 (1+i)¹

1,0404 = 1 + i

i = 0,0404 x 100

i = 4,04%

HP12C

(f) (REG) 990 (CHS) (PV) 1030 (FV) 1 (n) (i)?

i = 4,04%

6) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de 3 anos, quanto deverá depositar hoje na poupança que rende 10% aa (ao ano)?

(f) 27500 (FV) 3 (n) 10 (i) (PV)?

PV = $20.661

7) Se deposito hoje $5.000 na poupança para que no futuro compre um carro novo, em quanto tempo terei R$25.000 para a aquisição do carro sabendo que o rendimento médio é de 0,6% ao mês?

(f) 10000 (CHS) (PV) 25000 (FV) 0,6 (i) (PV)?

n = 154 meses = 13 anos

* o exercício supõe que o preço do carro não terá subido até lá em função da inflação. Na lição seguinte veremos como tratar da inflação.

¬ Lição matemática nº5: O funcionamento da calculadora HP12C

A calculadora financeira HP12C ainda é uma das melhores ferramentas para os cálculos financeiros e demais operações matemáticas do dia a dia. A inserção do manuseio da calculadora como uma lição matemática tem um explicação lógica. Como a partir desta lição centrarei o foco na matemática financeira, temos duas alternativas para trabalhar o conteúdo: ou fazemos os cálculos na mão mesmo ou, de forma bem mais prática, na HP12C. Nas lições seguintes a matemática volta a ser o foco, e a demonstração das resoluções via HP um atalho prático. Segue abaixo um resumo das suas operações básicas.

MEMÓRIAS TRANSITÓRIAS (REGISTRADORES)

A calculadora HP-12c dispõe de quatro memórias temporárias, que operam como se fossem uma pilha de quatro valores, com as seguintes características:

a) a memória X é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor;

b) as demais memórias Y, Z e T, estão empilhadas em cima da memória X, na ordem seqüencial;

c) todas as operações aritméticas são efetuadas com os conteúdos das memórias X e Y;

d) As operações que englobam dois números são realizadas com os registradores X e Y. Os demais (Z e T) são utilizados na retenção de números pendentes. Um número é pendente quando tem que aguardar o resultado de outro cálculo, para com ele efetuar uma nova operação. Na expressão: 5 x (4 + 6) o número 5 está pendente pois tem que esperar o resultado (10) de 4 + 6, para com ele efetuar a multiplicação 5 + 10.

e) os conteúdos das quatro memórias temporárias são movimentados nos seguintes casos:

* quando a tecla ENTER é acionada;

* quando são efetuadas operações aritméticas;

* quando são acionadas as teclas R↓ (roll down), ou X><Y;

A ordem dos registradores é:

MANUSEIO BÁSICO DA CALCULADORA

a) ponto e vírgula

i) desligar a calculadora

ii) manter pressionada a tecla (.)

iii) ligar a calculadora

iv) soltar a tecla (.)

b) numero de casas decimais no visor

HP: (f) (2) para duas casas

(f) (4) para quatro casas, etc

c) troca de sinal (CHS) - change sign

- 12

HP: 12 (CHS)

d) inverso de um número (1/x)

inverso de 12

HP: 12 (1/x)

e) raiz quadrada (√x)

raiz quadrada de 12

HP: 12 (g) (√x)

R: 3,46

f) tecla (CLx) - clean

limpa somente a memória X do visor

(f) (CLx) - limpa todas as memórias

g) Teclas (STO) e (RCL)

Além dos registradores X, Y, Z e T que compõem a pilha operacional da calculadora, a HP-12c dispõe ainda de 20 outros registradores de armazenamento (memórias) para guarda de números. A tecla STO (store) serve para guardar e operar valores nas 20 memórias fixas da HP.

Exemplo 1

HP: 20 (STO) 1 – o número 20 é guardado na memória 1.

80 (STO) 3 – o número 80 é guardado na memória 3.

A tecla RCL serve para chamar (recall) os valores das memórias fixas para o visor da calculadora, assim como para chamar para o visor os valores contidos nas cinco memórias financeiras (n, i, PV, PMT e FV).

Exemplo 2

Resolver (5+4)²/(2+1)²

1º passo:

HP: 5 (ENTER) 4 (+) 2 (Y^x) (STO) 1 – resultado do numerador guardado na memória 1

2º Passo

HP: 1(ENTER) 2 (+) 2 (Y^x) (STO) 2 – resultado do denominador guardado na memória 2

3º passo:

HP: (RCL) 1 - chama o resultado do numerador para o visor

HP: (RCL) 2 - chama o resultado do denominador para o visor

HP: (÷) – efetua a divisão

R: 9

Exemplo 3

- coloque o número 20 no registrador 1

- multiplique o numero contido em R₁ por 5 e mantenha o resultado em R₁

- apresente o resultado no visor

HP: 20 (STO) 1

5 (STO) (x) 1

(RCL) 1

R: 100

Exemplo 4

Introduza os números 100, 200, 300 e 400, respectivamente nos registradores R₁... R₄. Em seguida efetue as seguintes operações:

i) multiplique R₁ por 15

HP: (RCL) 1 15 (STO) (x) 1

R: 1.500

ii) somar 800 a R₂

HP: (RCL) 2800 (STO) (+) 2

R: 1.000

h) Tecla (X><Y)

permuta os conteúdos dos registradores X e Y, se a ordem de cálculo estiver invertida.

Exemplo:

10 – 2 x 3

HP: (f) (REG) 3 (ENTER) 2 x 10 (-)

R: - 10 (o resultado correto seria 10)

* como trocamos a ordem da equação, o resultado ficou errado, pois o 10 esta em X e o 6 em Y. Nesse sentido, para restaurar a ordem usamos a tecla (X><Y) para trocar os conteúdos dos registradores.

T	0
Z	0
Y	6
X	10

Corrigindo:

HP: (f) (REG) 3 (ENTER) 2 x 10 (X >< Y) (-)

R: 10

* fizemos a permuta entre as memórias X e Y

T	0
Z	0
Y	10
X	6

i) Tecla (∆%)

Calcula a diferença percentual entre dois números. Quando o principal for menor que o montante, o resultado será uma taxa positiva. Se o principal for maior, então a taxa é de decréscimo, ou de desconto, e será negativa.

Exemplo 1

Uma mercadoria foi comprada por $ 3.500,00 e vendida por $ 4.200,00. Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?

HP: (f) (REG) 3.500 (ENTER) 4.200 (∆%)

R: 20%

Exemplo 2

Um aparelho de ar condicionado cujo preço de tabela era 650.200,00, foi vendido a vista por 497.403,00. Qual o percentual de desconto?

HP: (f) (REG) 650.200,00 (ENTER) 497.403,00 (∆%)

R: - 23,5%

* o principal (650.200) menor que o montante (497.403), por isso a taxa negativa, ou de desconto.

j) Tecla (%T): calcula o percentual de um número em relação a outro.

Exemplo 1

Em um lote de 3.000 peças, 450 encontram-se com defeito. Qual o percentual de peças defeituosas?

HP: (f) (REG) 3.000 (ENTER) 450 (%T)

R: 15%

Exemplo 2

Uma carteira de ações é formada por $ 3.500.000,00 em ações da Eletrobrás, $ 2.800.000,00 em ações da Usiminas e $ 6.300.000,00 em ações da Brahma. Qual o percentual de cada tipo de ação em relação ao total da carteira?

HP: (f) (REG) 3.500.000 (ENTER) 2.800.000 (+) 6.300.000 (+)

Total: $ 12.600.000,00

Eletrobrás

HP: 3.500.000 (%T)

R: 27,77%

Usiminas

HP: (CLx) 2.800.000 (%T)

R: 22,22%

Ambev

HP: (CLx) 6.300.000 (%T)

R: 50%

CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES

a) 22.500 + 5678

HP: (f) (REG) 22.500 (ENTER) 5678 (+)

R: 28.178

b) – 425 + (- 638)

HP: (f) (REG) 425 (CHS) (ENTER) 638 (CHS) (+)

R: - 1.063

c) 28,34 + 35,4

HP: (f) (REG) 28,34 (ENTER) 35,4 (√x) (+)

R: 34,29

d) – 22 – (- 1/5)

HP: (f) (REG) 22 (CHS) (ENTER) 5 (1/x) (CHS) (-)

R: - 21,8

e) 4,9²

HP: (f) (REG) 4,9 (ENTER) 2 (Y^x)

R: 24,01

f) raiz 3 de 123

HP: (f) (REG) 123 (ENTER) 3 (1/x) (Y^x)

R: 4,97

CÁLCULOS EM CADEIA (SIMPLES E INTERCALADO)

Para um cálculo em cadeia precisamos determinar a ordem em que as operações serão efetuadas. Essa ordem é definida a partir dos colchetes, parênteses, chaves, etc, indicando a prioridade das operações. Ao efetuar a primeira operação, a HP-12c apresenta o resultado no visor. Neste momento, se digitarmos outro número, o resultado anterior é copiado no registrador Y, passando a calculadora a aguardar a operação a ser realizada entre os novos números contidos nos registradores X e Y. Não há, portanto, necessidade de pressionar novamente a tecla (ENTER).

Exemplos:

a) (⁵√132)⁴

HP: (f) (REG) 132 (ENTER) 5 (1/x) (Y^x) 4 (Y^x)

R: 49,71

b) 5 + 16 + 19 + 35 – 54

(f) (REG) 5 (ENTER) 16 (+) 19 (+) 35 (+) 54 (-)

R: 16

c) 3,4 x 2,3^5,1– 3,16

(f) (REG) 3,4 (ENTER) 2,3 (ENTER) 5,1 (Y^x) (x) 3.16 (-)

R: 234,68

* Temos aqui uma operação intercalada, pois o 3,4 ficou pendente esperando que a operação seguinte fosse efetuada. Podemos ordenar a equação para facilitar o encadeamento.

2,3^5,1 x 3,4 – 3,16

HP: (f) (REG) 2,3 (ENTER) 5,1 (Y^x) 3,4 (x) 3,16 (-)

R: 234,68

d) (2,3 + 4,3) x (1,7 + 3.1)

HP: (f) (REG) 2,3 (ENTER) 4,3 (+) 1,7 (ENTER) 3,1 (+) (x)

R: 31,68

* Neste caso a operação não pode ser ordenada, tendo o cálculo que ser feito de forma intercalada, ou seja, com uma operação pendente.

e) (5 + 4) x (6 x 3 – 2 x 7)

HP: (f) (REG) 5 (ENTER) 4 (+) 6 (ENTER) 3 (x) 2 (ENTER) 7 (x) (-) (x)

R: 36

* são três operações intercaladas e dois números pendentes.

f) log 148,32

HP: 148,32 (g) (LN) 10 (g) (LN) (÷)

R: 2,17

g) 300 – 7,5 x 3,48/45 + 2,3 x 7,4

Numerador

HP: (f) (REG) 300 (ENTER) 7,5 (ENTER) 3,48 (x) (-)

R: 39

* esse é o único valor que fica na memória (visor). Pressionar R↓ para verificar.

denominador

HP: 45 (ENTER) 2,3 (ENTER) 7,4 (x) (+)

R: 62,2

(÷)

R: 0,63

* Todas as operações feitas aqui foram executadas sem o auxílio dos registradores de armazenamento (memórias). Contudo, em expressões mais complexas, ou mais extensas, precisaremos utilizar tais memórias, como no exemplo abaixo.

h) 1.500 – 2,5 x 46 – (45 + 2,4 x 65)

* Inicialmente, calculamos a expressão entre parênteses e colocamos seu resultado em R₁. Em seguida, calculamos 1.500 – 2,5 x 46 e subtraímos do resultado o valor contido em R₁.

HP: (f) (REG) 45 (ENTER) 2,4 (ENTER) 65 (x) (+) (STO ) 1

1.500 (ENTER) 2,5 (ENTER) 46 (x) (-) (RCL) 1 (-)

R: $ 1.184,00

APÊNDICE: Códigos de ERRO da HP12c

(retirado de Bruni & Famá, Adriano Leal & Rubens. Gestão de Custos e Formação de Preços. São Paulo, Atlas: 2002. Páginas 449 e 450)

Error 0: erro em operações matemáticas, como: divisão de número por zero, raiz quadrada de número negativo, logaritmo de número menor ou igual a zero etc.

Error 1: utilização do limite de armazenamento da máquina: a magnitude do resultado é igual ou superior a 10100. Por exemplo, fatorial de 73. Note que a mensagem de erro não aparece: apenas uma série de noves aparece no visor.

Error 2: operações estatísticas com erro. Por exemplo, média com n igual a 0.

Error 3: erro no cálculo da taxa interna de retorno (IRR). Nesse caso, a mensagem informa que o cálculo é complexo, podendo envolver múltiplas respostas, e não pode prosseguir, a menos que você forneça uma estimativa para a IRR.

Error 4: erro em operações com a memória da calculadora. Por exemplo: tentativa de introdução de mais de 99 linhas de programação; tentativa de desvio (GTO) para uma linha inexistente em um programa; tentativa de operação com os registradores de armazenamento (R5 a R9 ou R.0 a R.9); tentativa de utilização de um registrador ocupado com linha de programação.

Error 5: erro em operações com juros compostos. Provavelmente algum valor foi colocado com o sinal errado (todos os valores têm o mesmo sinal), ou os valores de i, PV e FV são tais que não existe solução para n.

Error 6: problemas com o uso dos registradores de armazenamento. O registrador de armazenamento especificado não existe, ou foi convertido em linha de programação. O número de fluxos de caixa inserido foi superior a 20.

Error 7: problemas no cálculo da taxa interna de retorno. Não houve troca de sinal no fluxo de caixa.

Error 8: problemas com o calendário. Pode ser decorrente do emprego de data inapropriada ou em formato impróprio; tentativa de adição de dias além da capacidade da máquina.

Error 9: problemas no autoteste. Ou o circuito da calculadora não está funcionando corretamente, ou algum procedimento no autoteste apresentou falhas.

¬ Lição matemática nº4: Inflação e reajustes salariais

Duas questões são importantes quando o assunto é reposição salarial. A primeira é o índice de inflação a ser utilizado. Tem que ser específico para isso (ver detalhes dos índices na Lição de economia nº5). A segunda é o percentual a ser pedido, negociado. Ele nada mais é que a inflação acumulada durante um período. E essa inflação é expressa na forma de um índice. Por isso, um deles deve ser escolhido.

Façamos as nossas simulações aqui com o INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor) do IBGE. Na data base, data de renegociação dos salários, imaginemos que o INPC tenha se comportado da seguinte forma:

INPC acumulado nos últimos anos:

2007: 5,0%

2008: 6,0%

2009: 7,0%

Quanto devo pedir de reajuste? É a soma dos 3 anos, logo, 18%? A resposta é "não!", pois a inflação de hoje vem sobre a inflação de ontem, ou seja, é cumulativa. Façamos o seguinte raciocínio: imaginemos o valor de R$100 para simplificar, que poderia ser o de uma cesta básica, ou o nosso salário mesmo. Vejamos o efeito dessa inflação sobre a cesta ao longo dos 3 anos.

Valor da cesta no final de 2007: R$100 x 1,05 (1+i/100) = R$105,0

Valor da cesta no final de 2008: R$105 x 1,06 = R$111,3

Valor da cesta no final de 2009: R$111,3 x 1,07 = R$119,1

E de quanto foi a infação nos 3 anos? Há várias formas de determinar essa inflação acumulada no período 2007-2009:

1º) Valor perdido ao longo dos 3 anos, já que a cesta subiu mas, meu salário não: R$19,1. Ele representa 19,1% do valor inicial. Portanto, R$19,1/100 = 0,191 x 100 = 19,1%.

2º) De R$100 para R$119,1 tivemos um crescimento de 19,1%, pois R$119/R$100 = 1,191 -1 = 0,191 x 100 = 19,1%

3º) Pela fórmula da lição anterior: Inflação acumulada = (1,05) x (1,06) x (1,07) = 1,191-1 = 0,191 x 100 = 19,1%

Concluímos que o preço da cesta básica, e do salário, deveria ser de R$119,1. Ou seja, o reajuste deve ser de 19,1%. Observem que esse valor encontrado é superior àquela soma da inflação nos 3 anos, de 18%.

Essa diferença entre a simples soma (errado) e o cálculo da inflação sobre inflação fica mais gritante se a inflação for mais elevada e/ou se o tempo sem reajuste for maior. Para ilustrar isso suponhamos um INPC anual de 30%. Vamos a outro exemplo e continuemos com a mesma cesta de R$100 para descobrir a inflação acumulada.

Valor da cesta no final do ano 1: R$100 + 30% = R$130

Valor da cesta no final do ano 2: R$130 + 30% = R$169

Valor da cesta no final do ano 3: R$169 + 30% = R$220

Perda em reais ao longo dos 3 anos = R$100 – R$220 = - R$120. Logo, a inflação acumulada no período não foi a soma de 30% ao longo dos 3 anos, que daria 90%, mas 120% (1,3 x 1,3 x 1,3 = 119%).

O salário de R$100 precisaria ser reajustado em 119%, para R$219.

Conclusão: inflação acumulada NUNCA é a soma das inflações anteriores, mas uma sobre a outra. A fórmula mais prática, e rápida, de efetuar esse cálculo é multiplicar as inflações (1+i/100) e deflações (1-i/100) como vimos na lição anterior.

Se retomarmos o exemplo utilizado na lição2, podemos calcular o percentual acumulado de outra forma.

Meses	janeiro	fevereiro	março	abril
Vendas	100.000	102.000	175.300	165.000
Variação percentual	-	+2%	+71,8627%	-5,8756%

O crescimento de janeiro para abril foi de 65% (165.000/100.000). Mas, de quanto foi o crescimento % acumulado? Já vimos que não posso somar 2% + 71,86% - 5,87%. Nossa solução pra isso foi:

100 + 2% = 102

102 + 71,8627% = 175,2999

175,2999 - 5,8756% = 165,00 = 65%

.

Portanto, o crescimento foi de 65% (165/100). Esse valor é exatamente o mesmo encontrado acima quando pegamos o faturamento de janeiro e comparamos com o de abril. São o mesmo porque o faturamento de abril já vem acumulado dos meses anteriores. Logo, dá no mesmo acumular os percentuais ou pegar a diferença entre o primeiro e o último faturamento.

.
Queda no poder de compra

No exemplo anterior vimos que uma elevação nos preços de 30% ao longo dos anos resulta em um acumulado de 120%. Isso significa que o nosso poder de compra caiu em 120%? Não! Do contrário meu poder de consumir estaria zerado, ou seja, eu não compraria nada. Vamos a um exemplo: Imaginemos que nossos 100 sejam gastos no consumo de batatas. No 3º ano as batatas custariam 220 reais em função da inflação. No entanto, meu salário continua sendo de 100 reais. Assim eu ainda consigo comprar batatas, mesmo que em quantidade menor, pois a inflação fez com que o preço delas subisse. O que preciso é reajustar meu salário em 120% para voltar a comprar as mesmas batatas, já que agora compro bem menos do que isso. Mas, de quanto foi, então, a queda no meu poder de compra?

O que ganho hoje, R$100, representa 45% do valor das batatas que está agora em R$220, (100/220). Ou seja, com meus R$100 reais continuo comprando ainda um pouco delas, 45%, que é o meu poder de compra atual. Concluímos que a queda no poder de compra nesses 3 anos, com relação ao novo preço das batatas, é de 55%.

Em resumo, cuidado para não confundir a necessidade de crescimento no meu salário (120%) com a queda no meu salário real (poder de compra), que não foi de 120%, mas de 55%. Isso implica que para recuperar essa queda de 55% no meu poder de compra preciso de uma elevação de 120% no meu salário nominal de R$100, o que o levaria pra R$220.

Ganhos nominais (ou aparentes) e ganhos reais

Imaginem que um imóvel tenha sido comprado por R$100.000 e vendido, após 1 ano, por R$120.000. Qual o ganho, em percentual, dessa operação?

De R$100.000 para R$120.000 o ganho foi de 20% (20.000/100.000).

Contudo, se a inflação no período foi de 25% de quanto foi o ganho real? A diferença entre 20% e 25%? Não! Já vimos que quando se trata de inflação nunca podemos simplesmente diminuir taxas. A primeira pergunta que nos fazemos é: "quanto valeria o imóvel reajustado pela inflação hoje?". Assim, o valor da venda corrigido pela inflação deveria ser:

.R$100.000 x 1,25 = R$125.000

Como foi vendido por apenas R$120.000 isso implica uma perda de R$5.000 com relação ao valor corrigido pela inflação, ou seja, 4% (R$5.000/R$125/000). Ou seja, eu deixei de recuperar R$5.000 dos R$125.000 que deveria valer o imóvel corrigido pela inflação. A subtração entre a inflação e o ganho (20% - 25% = -5%) está errada. Meu ganho aparente de 20% é, na verdade, uma perda real de 4%.

Encontraríamos o mesmo resultado ao deflacionar o valor da venda pela inflação e comparar com o valor da compra do imóvel. Assim teríamos:

R$120.000/1,25 = R$96.000

Como o valor de compra do imóvel foi de R$100.000, temos uma perda real de R$4.000 sobre o valor da compra, -4% (R$4.000/R$100.000).

Ou seja, ou levamos, inflacionamos (capitalizamos), o valor da compra para o futuro e comparamos a perda/ganho com esse valor de compra corrigido pela inflação. Ou trazemos, deflacionamos (descapitalizamos), o valor da venda para o presente para compararmos a perda/ganho com o valor da compra.

Ganhos nominais (ou aparentes) e ganhos reais nos salários

Aprofundemos um pouco o raciocínio. Suponhamos que em uma economia com inflação o assalariado tenha tido um reajuste no salário ao longo dos anos. Como calculamos o seu ganho, ou perda, real neste caso?

Suponhamos um indivíduo que teve o seu salário nominal reajustado como na tabela abaixo. Imaginemos também que a inflação no período tenha sido de 12% em 2007/8 e 20% em 2008/9, com um acumulado de 1,344 (1,12 x 1,2).

anos	inflação	Inflação acumulada	Salário reajustado (ganho aparente)	salário deflacionado	Cresc. real
2007/8	12%	1,12	1100 (10%)	1100/1.12 = 982	-1,8%
2008/9	20%	1,344	1300 (18,18%)	1300/1,344 = 967	-1,5%

A coluna 5 mostra que o salário nominal reajustado (coluna 4), quando deflacionado (coluna 3) resulta em um salário real no tempo zero, quando meu salário é de 1.000. Logo, se comparo esse valor real com o meu salário no tempo zero noto que ele é inferior. Isso mostra que o ganho de 10% entre 2007/8 foi apenas aparente. De R$1.000 para R$982 houve uma queda, perda real, de -1,8% (isto é, 982/1.000 = 0,982 - 1 = -0,018 x 100 = -1,8%). Da mesma forma, o ganho aparente entre 2008/9 foi de 18,18%, mas o real de -1,5% (queda de R$1.300 para R$967).

No acumulado no período (2007/9) a perda real foi de 3,3% (R$967/R$1.000), bem diferente daquele ganho aparente de 18,18%.

Cálculo alternativo: Como sabemos que o salário nominal é de R$1.100 e o salário ideal, reajustado pela inflação, deveria estar em R$1.120 (R$1.000 x 1,12), podemos achar os resultados acima descobrindo o quanto essa diferença representa de perda para o salário:

2007/8: R$1.100 – R$1.120 = R$-20/R$1.120 = -1,8% de perda real (R$20 perdidos sobre o salário de R$1.120 corrigido pela inflação de 12%)

Acumulado 2007/9: R$1.300 (valor reajustado) – R$1.344 (valor ideal com a reposição da inflação) = -R$44/R$1.344 = -3,3% de perda real acumulada (R$44 perdidos sobre o salário de R$1.344 corrigido pela inflação acumulada nos dois anos).

Conclusões

reajustes salariais negociados de forma aleatória, sem um índice de inflação como referência, podem não recuperar a inflação acumulada. Os ganhos aparentes podem não compensar a elevação nos preços, tornando-se uma perda real

como a inflação ocorre mês a mês as minhas perdas são mensais. Já que a minha negociação é feita uma vez no ano, quando reponho a inflação essas perdas ao longo do ano não são repostas, pois implicaram queda no meu mensal. O reajuste apenas garante que, dalí pra frente, meu poder de compra seja recomposto - até que eu o perca gradativamente, mês a mês, ao longo do ano seguinte . Analisando bem, o reajuste só me garante o mesmo poder de compra no mês em que foi reajustado, já que no mês seguinte a inflação já corrói um pouco o meu salário nominal. De qualquer forma, é melhor que nada.

o link (http://fundos.economia.uol.com.br/uol/calculadora-indices-inflacao/) permite calcular a inflação acumulada de 2000 até hoje para diversos índices.

¬ Lição matemática nº3: O valor do dinheiro no tempo

Vou transformar um raciocínio lógico em um raciocínio matemático para entendermos o resto desta lição. Se um valor hoje de R$10.000 for reajustado por uma inflação de 10% no ano, quanto eu teria no fim do ano? Exato! São os mesmos R$10.000 mais os juros de R$1.000 = R$11.000.

Transformando isso em matemática:

Valor presente = R$10.000

Inflação no ano = 10%

Valor futuro = 11.000

.

Valor futuro = valor no presente + valor no presente x inflação do período; ou seja

Valor futuro = valor no presente x (1 + inflação/100)

Valor futuro = R$10.000 x (1+0,1)

Valor futuro = R$11.000

E se eu tivesse o contrário, valor no futuro de R$11.000 e uma inflação de 10% no ano, como descobriria o valor presente? Ou seja, quero deflacionar, tirar a inflação.

Como o Valor no futuro = valor no presente x (1 + inflação/100), significa que:

Valor presente = valor no futuro/(1+inflação/100)

Valor presente = R$11.000/1,1 = R$10.000

.

Essas duas identidades são extremamente importantes, pois quando trabalhamos com inflação, juros e outros índices, sempre falamos de percentuais acumulados. Temos, portanto, sempre que respeitar essas identidades para que o que parece óbvio aos nossos olhos não estrague o que é lógico matematicamente.

Então, sempre que quisermos acrescentar a inflação, ou juro, a um valor qualquer, temos que multiplicá-lo pela taxa, o nome disso é capitalizar. De modo contrário, sempre que quisermos tirar um juro, ou inflação, de um valor temos que dividi-lo pela taxa, descapitalizar.

A inflação e o tempo

A inflação, assim como qualquer outra taxa, quando acumulada ao longo de um período, NÃO PODE simplesmente ser somada. Vejamos um exemplo:

Um indivíduo comprou um imóvel por R$100.000 e deseja vendê-lo após 3 anos. Considerando que a inflação nesse período tenha sido de 10% em cada ano, qual o valor de venda do imóvel para que o proprietário recupere pelo menos a inflação no período.

Vimos que o valor futuro deve ser encontrado multiplicando-se o dinheiro pela taxa. Vejamos, ano a ano:

Valor futuro ano1= valor presente x (1+i/100)

Valor futuro ano1= 100.000 x (1+0,1)

Valor futuro ano1 = 110.000

Logo,

Ano 1: R$100.000 x 1,1 = R$110.000

Ano 2: R$110.000 x 1,1 = R$121.000

Ano 3: R$121.000 x 1,1= R$133.100

.

O imóvel deveria ser vendido por R$133.100, um acréscimo de 33,1% (33.100/100.000) para que a inflação fosse recuperada. Logo, a inflação acumulada no período foi de 33,1%.

Há uma outra forma de encontrar esse percentual:

Inflação acumulada = (1+i/100) x (1+i/100) ...

Inflação acumulada = (1,1) x (1,1) x (1,1) = 1,331-1 = 0,331 x 100 = 33,1%

.

E, se no terceiro ano, ao invés de uma inflação, tivéssemos deflação de 10%?

Ou seja, teríamos no ano 3: R$121.000 - 10%= R$108.900

Inflação acumulada = 108.900/100.000 =1,089 x 100 = 8,9%

Pela fórmula: (1+i/100) x (1+i/100) x (1 – i/100)

Inflação acumulada = 1,1 x 1,1 x 0,9 = 1,089 – 1 = 0,089 x 100 = 8,9%

.

Inflação mensal ou anual?

Por que para calcular a inflação eu não utilizo a lista de preços do primeiro dia do ano e a comparo com a do último dia do ano?

Exemplo: 100 – 102 – 105 – 104 – 106 – 106 – 106 – 107 – 105 – 105 – 108 - 105

.de 100 para 10 daria 5% de alta no ano.

.

Porém, quando pego as variações mensais nos preços tenho a seguinte situação: 2%, 2,94%, -0,95%, 1,92%, 0%, 0%, +0,94%, -1,87%, 0%, 2,85%, -2,77%. Esses percentuais acumulados no ano nos dariam 4,77%, e não 5%.

Qual utilizamos, então, para saber a queda no nosso poder aquisitivo em um ano específico? O raciocínio é simples. Recebemos nosso salário todo mês e fazemos compras também todos os meses. Não a fazemos apenas uma vez no mês. Como fazemos compras todos os meses precisamos trabalhar com inflações mensais. Caso fizéssemos uma compra só no fim do ano trabalharíamos com o primeiro cálculo, ou seja, 5%. Portanto, nos interessam os efeitos mensais das elevações nos preços, por isso utilizamos a inflação acumulada mês a mês.

Observação: a inflação, via de regra, é calculada todo mês e no final do ano divulgada no acumulado. Esse acumulado não é a soma das inflações mensais, mas uma sobre a outra. Logo, aquele 4,77% acima não é a soma das inflações mês a mês, mas uma sobre a outra: 1,02 x 1,0294 x 0,99 x ... = 4,77%.

* Retomarei o assunto 'inflação' nas lições seguintes.

¬ Lição matemática nº2: Comparando valores no tempo

Como encontrar variações percentuais (elevações e quedas)

Imaginemos uma empresa com a seguinte evolução nas vendas:

Meses	janeiro	fevereiro	março	abril
Vendas	100.000	102.000	175.300	165.000
Variação percentual	-	+2%	+72%	-5,87%

Para calcularmos a variação percentual precisamos de dois períodos de referência, por isso o mês de janeiro consta sem variação. Não poderia colocar 0%, pois não há dado anterior. Já as vendas de janeiro para fevereiro cresceram em 2%. Temos caminhos distintos para chegar a essa variação percentual:

(a) 102.000/100.000 = 1,02 – 1 = 0,02 x 100 = +2%

Obs: as vendas de fevereiro correspondem a 1,02 vendas (ou 1,02 vezes as vendas) de janeiro. Se retirarmos 1 (que corresponde ao próprio $100.000), e multiplicarmos por 100, temos a variação percentual.

(b) 102.000 – 100.000 = 2.000. Logo, 2.000/100.000 = 0,02 x 100 = +2%

Já de março para abril notamos uma queda nas vendas de 5,87%:

(a) 165.000/175.300 = (0,941 – 1) = - 0,05875 x 100 = - 5,87%

(b) 165.000 - 175.300 = - 9.700. Logo, - 9.700/175.300 = - 0,0587 x 100 = - 5,87%

Ou seja, como caminho mais rápido dividimos SEMPRE o mês em questão pelo mês anterior, tanto para as elevações quanto quedas nas vendas (nos lucros, no preço, ou qualquer outra variável). Do resultado encontrado SEMPRE subtraimos 1 e SEMPRE multiplicamos por 100.

E por que subtraímos 1 do resultado? Pensem comigo. O que significa aquele 1,02 do primeiro exemplo? Mostra que o 102.000 é igual a 1,02 vezes o 100.000. Ou seja, 1 (que é o 100.000) + 0,02 dos 100.000 (que são os 2.000). Como o que me interessa é apenas a variação, o crescimento de 2.000, preciso apenas dos 0,02. Por isso eu tiro 1, na verdade tiro os 100.000 e fico apenas com os 2.000 restantes, expressos nesses 0,02. Em seguida multiplico por 100 para transformar em taxa. Assim tenho que a variação, crescimento, foi de 2%, que são os 2.000 (0,02) acima do 100.000.

ATENÇÃO: de janeiro pra março o crescimento nas vendas foi de 75% (175.000/100.000). Não podemos somar as parciais neste caso pois elas já vem acumuladas dos períodos anteriores. Logo, de janeiro pra abril as vendas cresceram em 75% e não 68,1% (2% + 72% -5,87%).

Variações percentuais de percentuais

Supondo que a inflação em um mês tenha sido de 14% e a do mês seguinte de 7%. De quanto foi a desaceleração nos preços nesse período?

Temos uma redução de 14 para 7. Logo, 7/14 = (0,5 -1) = - 0,5 x 100 = - 50%

Notem que o percentual de desaceleração na inflação foi de 50%. Alguns analistas podem dizer ainda que a inflação reduziu em 7 pontos percentuais (14% - 7%) de um mês para o outro, o que é bem diferente de dizer que houve desaceleração de 7%. Calculamos que ela foi, efetivamente, de 50%.

Portanto, não confundam uma queda EM 7 pontos percentuais com uma queda DE 7 % (por cento).

Na primeira tabela deste artigo notamos que entre fevereiro e março houve uma elevação nas vendas em 70 pontos percentuais, o que representa um aumento de 3.500% no percentual de crescimento (72/2 = 36 – 1 = 35 x 100).

Ou ainda, uma pessoa que tenha emagrecido de 80kg para 70kg teve uma queda no peso de 10kg, o que representa uma queda (em percentual) de 12,5%.

Vejamos no exemplo a seguir como podemos explorar dados absolutos a partir de percentuais.

Municipios	Acidentes em janeiro	Participação %	Acidentes em fevereiro	Participação %
Vitória	50	50%	75	47%
Serra	20	20%	35	22%
Cariacica	15	15%	30	19%
Vila Velha	15	15%	20	12%
Total	100	100%	160	100%

Análisando o município de Vitória observem as conclusões matemáticas simples que podemos tirar e pensem em quais seriam mais interessantes de serem divulgadas pelas respectivas secretarias de segurança dos municípios, bem como quais podem ser omitidas:

crescimento, em termos absolutos, de 25 acidentes entre janeiro e fevereiro;

esses 25 acidentes representam uma elevação de 50% no número de acidentes;

queda de 3 pontos percentuais (3 pp) na participação de Vitória no total de acidentes de janeiro para fevereiro (50% - 47%);

de 50% para 47% temos uma queda de 6% na participação de Vitória no total de acidentes. Ou seja, são os - 3 p.p expressos em variação percentual (%).

Regra:

- quando aparecerem expressões como EVOLUÇÃO, TAXA DE CRESCIMENTO, CRESCIMENTO, QUEDA, VARIAÇÃO, temos que tirar 1 e multiplicar por 100 para transformarmos em percentual (taxa).

- quando buscamos a PROPORÇÃO, PARTICIPAÇÃO, PERCENTUAL DE INADIMPLÊNCIA, TAXA DE INADIMPLÊNCIA etc, apenas dividimos a parte que nos interessa pelo todo. Em seguida multiplicamos por 100 para transformar em percentual (taxa).

¬ Lição matemática nº1: Transformando valores absolutos em valores relativos

A matemática é óbvia aos olhos da lógica, mas nem sempre aos nossos.

Podemos concluir, então, que nem tudo que é óbvio é lógico, mas quase tudo que é lógico não é, nem um pouco, óbvio. Portanto, em se tratando de matemática, há alguns caminhos possíveis para se chegar a um resultado, mas nem todos os caminhos tomados levam a ele, o que é lógico, mas, não necessariamente, óbvio, aos olhos de muitos.

Meu objetivo com as lições de matemática (básica) é encontrar os caminhos lógicos mais óbvios possíveis para facilitar a compreensão dessa bela ciência. Por isso, de inicio, explicarei os cálculos de tantas formas quanto achar necessário para facilitar o raciocínio. Comecemos essa lição com um exercício básico que é transformar valores absolutos em valores relativos.

Transformando dados absolutos em dados relativos

Dados absolutos são aqueles resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação, como número de habitantes, volume de investimento, número de evadidos em uma escola etc. Os dados relativos são resultados de divisões, comparações, que facilitam a compreensão. Podem assumir 2 formas básicas: índices e taxas (percentuais).

Índices:
São razões (divisões), comparações, entre duas grandezas diferentes, como nos exemplos a seguir:

Índice de densidade demográfica = população/superfície

1.000 habitantes/100.000m²= 0,01hab / 1m² (hab por m²)

índice de renda (ou PIB) per capita = renda (ou PIB)/população

R$1.000.000.000/100.000 = R$10.000 / 1hab (R$ por hab)

Coeficientes e taxas:

Coeficientes são razões (divisões) entre grandezas idênticas. Taxas são esses coeficientes multiplicados por 100, tornando o resultado mais legível.

coeficiente de natalidade = número de nascimentos (pessoas)/população total (pessoas)

100/100.000 = 0,001 nascimentos / habitante

coeficiente de evasão escolar = número de evadidos (alunos) / total inicial de matrículas

1 /100 = 0,01 evadidos / aluno matriculado

coeficiente de lucro = lucro da empresa (dinheiro)/vendas da empresa

R$10.000/R$100.000 = R$0,10 de lucro para cada R$1,0 vendido

Notem que o que define um cociente é a utilização de elementos (números) que contém a mesma unidade no numerador e denominador. Nos casos acima, na natalidade, por exemplo, tanto numerador como denominador são pessoas. No da evasão escolar, alunos.

taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 100

0,001 x 100 = 0,1% de nascidos para a população

taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão x 100

1% de evadidos do total de alunos matriculados

taxa de lucro = coeficiente de lucro x 100

10% de lucro sobre as vendas

Em algumas situações dividimos coisas de grandezas iguais e fica mais apropriado utilizá-las enquanto coeficientes, não com taxas. Se quiséssemos encontrar, por exemplo, o número de funcionários por aluno em uma escola teríamos a seguinte equação:

funcionário/nº alunos = 300/3000 = 0,1 funcionários por aluno.

Observem que na equação anterior temos pessoas no numerador e pessoas no denominador, ainda assim se multiplicarmos por 100 para transformar em taxa achamos um valor estranho, que não corresponde ao que queremos, funcionários por aluno. E caso buscássemos o percentual de freqüentadores da escola que são funcionários aí sim teríamos uma taxa:

funcionários/freqüentadores = 300/3.300 = 9% dos freqüentadores da escola são funcionários.

* lembrem sempre que o termo percentual indica uma expressão dividida por 100. Logo, 10% é o mesmo que 10 dividido por 100 (10/100).

OBSERVAÇÃO: no cotidiano percebemos que nem sempre as pessoas, e a mídia, utilizam a definição mais apropriada para índices e taxas.