¬ Lição matemática nº3: O valor do dinheiro no tempo

Vou transformar um raciocínio lógico em um raciocínio matemático para entendermos o resto desta lição. Se um valor hoje de R$10.000 for reajustado por uma inflação de 10% no ano, quanto eu teria no fim do ano? Exato! São os mesmos R$10.000 mais os juros de R$1.000 = R$11.000.

Transformando isso em matemática:

Valor presente = R$10.000

Inflação no ano = 10%

Valor futuro = 11.000

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Valor futuro = valor no presente + valor no presente x inflação do período;  ou seja

Valor futuro = valor no presente x (1 + inflação/100)

Valor futuro = R$10.000 x (1+0,1)

Valor futuro = R$11.000

E se eu tivesse o contrário, valor no futuro de R$11.000 e uma inflação de 10% no ano, como descobriria o valor presente? Ou seja, quero deflacionar, tirar a inflação.

Como o Valor no futuro = valor no presente x (1 + inflação/100), significa que:

Valor presente = valor no futuro/(1+inflação/100)

Valor presente = R$11.000/1,1 = R$10.000

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Essas duas identidades são extremamente importantes, pois quando trabalhamos com inflação, juros e outros índices, sempre falamos de  percentuais acumulados. Temos, portanto, sempre que respeitar essas identidades para que o que parece óbvio aos nossos olhos não estrague o que é lógico matematicamente.

Então, sempre que quisermos acrescentar a inflação, ou juro, a um valor qualquer, temos que multiplicá-lo pela taxa, o nome disso é capitalizar. De modo contrário, sempre que quisermos tirar um juro, ou inflação, de um valor temos que dividi-lo pela taxa, descapitalizar.

A inflação e o tempo

A inflação, assim como qualquer outra taxa, quando acumulada ao longo de um período, NÃO PODE simplesmente ser somada. Vejamos um exemplo:

Um indivíduo comprou um imóvel por R$100.000 e deseja vendê-lo após 3 anos. Considerando que a inflação nesse período tenha sido de 10% em cada ano, qual o valor de venda do imóvel para que o proprietário recupere pelo menos a inflação no período.

Vimos que o valor futuro deve ser encontrado multiplicando-se o dinheiro pela taxa. Vejamos, ano a ano:

Valor futuro ano1= valor presente x (1+i/100)

Valor futuro ano1= 100.000 x (1+0,1)

Valor futuro ano1 = 110.000

Logo,

Ano 1: R$100.000 x 1,1 = R$110.000

Ano 2: R$110.000 x 1,1 = R$121.000

Ano 3: R$121.000 x 1,1= R$133.100

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O imóvel deveria ser vendido por R$133.100, um acréscimo de 33,1% (33.100/100.000) para que a inflação fosse recuperada. Logo, a inflação acumulada no período foi de 33,1%.

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Há uma outra forma de encontrar esse percentual:

Inflação acumulada = (1+i/100) x (1+i/100) ...

Inflação acumulada = (1,1) x (1,1) x (1,1) = 1,331-1 = 0,331 x 100 = 33,1%

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E, se no terceiro ano, ao invés de uma inflação, tivéssemos deflação de 10%?

Ou seja, teríamos no ano 3: R$121.000 - 10%= R$108.900

Inflação acumulada = 108.900/100.000 =1,089 x 100 = 8,9%

Pela fórmula: (1+i/100) x (1+i/100) x (1 – i/100)

Inflação acumulada = 1,1 x 1,1 x 0,9 = 1,089 – 1 = 0,089 x 100 = 8,9%

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Inflação mensal ou anual?

Por que para calcular a inflação eu não utilizo a lista de preços do primeiro dia do ano e a comparo com a do último dia do ano?

Exemplo: 100 – 102 – 105 – 104 – 106 – 106 – 106 – 107 – 105 – 105 – 108 - 105

.de 100 para 10 daria 5% de alta no ano.

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Porém, quando pego as variações mensais nos preços tenho a seguinte situação: 2%, 2,94%, -0,95%, 1,92%, 0%, 0%, +0,94%, -1,87%, 0%, 2,85%, -2,77%. Esses percentuais acumulados no ano nos dariam 4,77%, e não 5%.

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Qual utilizamos, então, para saber a queda no nosso poder aquisitivo em um ano específico? O raciocínio é simples. Recebemos nosso salário todo mês e fazemos compras também todos os meses. Não a fazemos apenas uma vez no mês. Como fazemos compras todos os meses precisamos trabalhar com inflações mensais. Caso fizéssemos uma compra só no fim do ano trabalharíamos com o primeiro cálculo, ou seja, 5%. Portanto, nos interessam os efeitos mensais das elevações nos preços, por isso utilizamos a inflação acumulada mês a mês.

Observação: a inflação, via de regra, é calculada todo mês e no final do ano divulgada no acumulado. Esse acumulado não é a soma das inflações mensais, mas uma sobre a outra. Logo, aquele 4,77% acima não é a soma das inflações mês a mês, mas uma sobre a outra: 1,02  x  1,0294  x  0,99 x ... = 4,77%.

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* Retomarei o assunto 'inflação' nas lições seguintes.