Apesar de não ser comumente utilizado nas operações habituais os juros simples servem como referência e facilitam o entendimento dos juros compostos.
DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTO
O regime de capitalização dos juros pode ser feito em juros simples (crescimento linear dos juros ao longo do tempo), sendo que a taxa não incide sobre o saldo acumulado anterior, apenas sobre o principal. Em suma, os juros tendem a ser constantes; ou em juros compostos (crescimento exponencial dos juros no tempo), ou seja, os juros incidem sobre o saldo acumulado no período anterior.
Exemplo: Considere um investimento de $1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 10% ao ano.
| Capitalização simples | Capitalização composta | Diferença | ||||
| Saldo devedor | Juros anuais | Saldo devedor | Juros anuais | Juros anuais | Saldo devedor | |
| Início 1º ano | 1.000,00 | - | 1.000,00 | - | - | - |
| Fim do 1º ano | 1.100,00 | 100,00 | 1.100,00 | 100,00 | 0,00 | 0,00 |
| Fim do 2º ano | 1.200,00 | 100,00 | 1.210,00 | 110,00 | 10,00 | 10,00 |
| Fim do 3º ano | 1.300,00 | 100,00 | 1.331,00 | 121,00 | 21,00 | 31,00 |
| Fim do 4º ano | 1.400,00 | 100,00 | 1.464,10 | 133,10 | 33,10 | 63,10 |
| Fim do 5º ano | 1.500,00 | 100,00 | 1.610,51 | 146,41 | 46,41 | 110,51 |
| Fim do 6º ano | 1.600,00 | 100,00 | 1.771,56 | 161,05 | 61,05 | 171,56 |
Percebemos que pelo fato de os juros simples incidirem sempre sobre o principal de $1.000 ele nunca é cumulativo. No caso dos juros compostos, a partir do segundo mês os juros de 10% incidem sobre o total do saldo devedor. Quanto maior o período da operação mais o juro composto se distancia do juro simples em termos monetários. Isso pode ser percebido pelas duas últimas colunas, que mostram a diferença entre os dois regimes de capitalização.
FÓRMULAS BÁSICAS:
juro simples
Como FV = PV + J
FV = PV + PV x i x n,
Logo:
FV = PV (1+i x n)
PV = FV/ (1 + i x n)
J = FV - PV
Onde:
PV = valor presente (present value), capital, principal, valor investido, etc.
FV = valor futuro (future value), montante, valor acumulado, etc.
i = taxa da operação
n = prazo da operação
(1 + i x n) = fator de capitalização
J = juros
* a notação aqui utilizada corresponde a da HP12c
Sua lógica, portanto, é a seguinte:
Tempo 0: FV = PV
Tempo 1: FV = PV + PV x i
Tempo 2: FV = PV + PV x i + PV x i = PV + PV x i x 2
Logo: FV = PV (1 + i x n)
EXEMPLOS:
1) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% am durante um trimestre. Determinar o valor dos juros acumulados neste período.
Capital (PV) = $80.000
i = 2,5% ao mês
J = ?
n = 1 trimestre (3 meses)
* a taxa deve sempre ser dividida por 100 antes de ser lançada na fórmula
* a taxa e o tempo da operação devem estar na mesma base, por exemplo, em meses
FV = 80.000 (1 + i x n)
FV = 80.000 (1 + 0,025 x 3)
FV = 86.000
Como J = FV – PV
J = 86.000 – 80.000
J = $6.000
2) Um capital de $40.000 foi aplicado na poupança por 11 meses, produzindo um rendimento de $9.680,00. Qual a taxa de juros dessa operação?
n = 11 meses
J = 9.680
PV = 40.000
i = ?
J = FV – PV
9.680 = FV – 40.000
FV = 49.680
FV = PV (1 + i x n)
49.680 = 40.000 (1 + i x 11)
49.680 = 40.000 + 440.000i
440.000i = 9.680
i = 0,022
* como a taxa precisa vir sempre com o símbolo de %, temos que multiplicar o resultado por 100.
i = 2,2% am ( 2,2/100)
3) Uma dívida de $900.000,00 vencerá em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7%am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
FV = 900.000
i = 7% ao mês
PV = ?
n = 4 meses
FV = PV (1 + i x n)
900.000 = PV (1 + 0,07 x 4)
PV = $ 703.125,00
4) Suponha uma dívida de $15.000,00. O credor está oferecendo um desconto de 7% am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Caso o devedor resolvesse antecipar a liquidação do seu débito pagaria $ 11.443,00. Em quanto tempo venceria esta dívida?
FV = 15.000
i = 7% ao mês
PV = $ 11.443
n = ?
15.000 = 11.443 (1+0,07 x n)
(1+0,07n) = 15.000/11.443
n = (1,3108 –1)/0,07
n = 4,44 meses, ou, arredondando, n = 4 meses
Observações:
* quando tratamos de matemática financeira não há problema em aplicarmos por datas quebradas, ou seja, podemos fazer uma aplicação por 2,5 meses, que significam 2 meses e meio, que corresponde a 2 meses mais 15 dias (75 dias). Podemos também arredondar o valor se não precisamos de dados muitos precisos.
* as taxas precisam ser consideradas com no mínimo duas casas decimais, pois isto tem um impacto considerável com relação a grandes somas de dinheiro.
* os valores monetários (em reais) não precisam vir com os centavos e podem ser arredondados. O importante é o raciocínio, pois uns centavos ou reais a mais ou a menos não prejudicam o nosso estudo.
JURO COMPOSTO
Para que a distinção entre juro simples e juro composto fique mais clara utilizaremos os mesmos exercícios.
Fórmulas:
FV = PV (1 + i)n
PV = FV/(1 + i)n
Onde:
(1 + i)n - fator de capitalização
1/(1 + i)n - fator de descapitalização (ou atualização)
A lógica do juro composto, portanto, é a seguinte:
Tempo0: FV0 = PV
Tempo1: FV1 = PV + PV x i = PV (1 + i)
Tempo2: FV2 = [PV x (1 + i)] + [PV x (1 + i)] x i = PV x (1 + i) x (1 + i) = PV x (1 + i)2
Logo: FVn = PV (1+ i)n
EXEMPLOS:
1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% am durante um trimestre. Determinar o valor dos juros acumulados neste período.
Capital (PV) = $80.000
i = 2,5% ao mês
J = ?
n = 1 trimestre (3 meses)
FV = 80.000 (1 + i)n
FV = 80.000 (1 + 0,025)3
FV = 86.151,00
Como J = FV – PV
J = 86.151,00 – 80.000
J = $6.151
Pela HP12C
(f) (REG) 80000 (CHS) (PV) 2,5 (i) 3 (n) (FV)? = 86.151,00
* Como a HP12c trabalha com fluxos de caixa (entradas e saídas), precisamos lançar um dos valores negativo, no caso 80.000 e a tecla (CHS), o que transforma a entrada em um valor negativo. Neste caso o FV sairá positivo. Se não colocassemos os 80.000 negativo o FV é quem sairia como uma saída de caixa [(f) (REG) 80000 (PV) 2,5 (i) 3 (n) (FV)? = - 86.151,00].
2) Um capital de $40.000 foi aplicado na poupança por 11 meses, produzindo um rendimento de $9.680,00. Qual a taxa de juros dessa operação?
n = 11 meses
J = 9.680
PV = 40.000
i = ?
J = FV - PV
9.680 = FV - 40.000
FV = 49.680
FV = PV (1 + i)n
49.680 = 40.000 (1 + i )11
(1 + i )11 = 1,242
Matematicamente, só temos uma solução neste ponto, que é aplicar a raiz 11 dos dois lados da equação. Logo,
1+i = 1,242 1/11
i = 1,01989 - 1
i = 0,01989
como a taxa vem sempre com o símbolo de %, temos que multiplicar o resultado por 100.
i = 1,989%
HP12C
(f) (REG) 9680 (ENTER) 40000 (+) (CHS) (FV) 40000 (PV) 11 (n) (i)?
i = 1,989%
* a calculadora financeira já apresenta a taxa em termos percentuais, isto é, não precisamos multiplicar por 100.
3) Uma dívida de $15.000,00 vencerá em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
FV = 15.000
i = 7% ao mês
PV = ?
n = 4 meses
FV = PV(1 + i)n
15.000 = PV(1 + 0,07)4
PV = $ 11.443,00
HP12C
(f) (REG) 15000 (CHS) (FV) 7 (i) 4 (n) (PV)?
PV = $ 11.443,00
4) Suponha uma dívida de $15.000,00. O credor está oferecendo um desconto de 7% am caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Caso o devedor resolvesse antecipar a liquidação do seu débito pagaria $11.443,00. Em quanto tempo venceria esta dívida?
FV = 15.000
i = 7% ao mês
PV = $ 11.443
n = ?
15.000 = 11.443 (1+0,07)n
(1+0,07)n = 15.000/11.443
(1+0,07)n = 1,3108
* matematicamente, sem a utilização de uma calculadora financeira, só temos uma solução para este problema. Passamos logaritmo dos dois lados da equação:
log (1,07)n = log 1,3108
Pela regra do logaritmo, descendo o expoente n,
n (log 1,07) = log 1,3108
n = log 1,3108/log 1,07
n = 0,11753/0,02938
n = 4 meses
HP12C
(f) (REG) 114443 (CHS) (PV) 15000 (FV) 7 (i) (n)?
n = 4 meses
5) Uma pessoa toma um empréstimo de $1.000 a ser pago em 1 mês, com uma taxa de juros de 3%. Pagou uma taxa de abertura de crédito (TAC) de $10,00. Qual a taxa efetiva do empréstimo? (as TAC's foram proibidas pelo governo mas o raciocínio serve para qualquer outro custo ou taxa adicional que incida sobre o empréstimo)
PV = $1.000
Valor efetivamente recebido (PV real) = $1.000 - 10 = $990
i = 3%.
FV (valor a ser pago) = $1.000 x 3% = $1.030.
FV = PV (1 + i )n
1.030 = 990 (1+i)1
1,0404 = 1 + i
i = 0,0404 x 100
i = 4,04%
HP12C
(f) (REG) 990 (CHS) (PV) 1030 (FV) 1 (n) (i)?
i = 4,04%
6) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de 3 anos, quanto deverá depositar hoje na poupança que rende 10% aa (ao ano)?
(f) 27500 (FV) 3 (n) 10 (i) (PV)?
PV = $20.661
7) Se deposito hoje $5.000 na poupança para que no futuro compre um carro novo, em quanto tempo terei R$25.000 para a aquisição do carro sabendo que o rendimento médio é de 0,6% ao mês?
(f) 10000 (CHS) (PV) 25000 (FV) 0,6 (i) (PV)?
n = 154 meses = 13 anos
* o exercício supõe que o preço do carro não terá subido até lá em função da inflação. Na lição seguinte veremos como tratar da inflação.
Nenhum comentário:
Postar um comentário